1.复数与复变函数

第一章 复数和复变函数

1.1 复数及其代数运算

一、复数的概念：

1.定义：设x,y是任意的两个实数，将形如：$z=x+iy$ 的数称为复数。（其中$i=\sqrt{-1}$）

2.纯虚数、纯实数、复数不能比较大小。

二、复数的代数运算

1.四则运算

$若：z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

$z_1 \pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)$

$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)$

如果存在复数$z$，使得$z_1=z\cdot z_2$，则$z=\frac{z_1}{z_2}$

三、共轭复数

1.定义：

设$z=x+iy$ 是一个复数，则称$z=x-iy$ 为$z$的共轭复数，记作：$\overline z$。

2.性质：

  • $\overline{\overline{z}}=z$
  • $\overline{z_1\circ z_2}=\overline{z_1}\circ \overline{z_2}$
  • $z\cdot \overline z=[Rez]^2+[Imz]^2$
  • $x=\frac{z+\overline z}{2} , y=\frac{z-\overline z}{2i}$

1.2 复数的几何表示

一、复数的几种表示方法

  1. 复平面

    由于一个复数$z=x+iy$由一对有序实数$(x,y)$唯一确定，因此对于平面上给定的直角坐标系，每一个复数都与坐标系上的一点一一对应，从而一个复数可以用该平面上坐标为$(x,y)$的点来表示。（类似与向量）

    • 向量z的长度$r$称为复数的模：$r=\vert z \vert = \sqrt{x^2+y^2}$

      • $\vert z_1 + z_2 \vert \leqslant \vert z_1 \vert + \vert z_2 \vert$
      • $\vert z_1 - z_2 \vert \geqslant \vert \vert z_1 \vert - \vert z_2 \vert \vert$

    • 向量z的方向角$\theta$称为复数的辐角：$\theta = Argz$

      • 多值性 $+2k\pi$

      • 逆正，顺负

      • 复数0的模是0，它的辐角无意义

      • 辐角主值：

        对于给定的z=0,设有$\theta$满足$\theta \in Argz 且 -\pi<\theta\leqslant\pi$

        $\theta = argz$即为z的主辐角

    • 相互转换关系（略）

  1. 复球面

第二章 解析函数

2.1 解析函数的概念

一、复变函数的导数与微分

1.导数

第三章 复变函数的积分

第四章 级数

第五章 留数